واگرایی از یک میدان بردار و منابع و غرق شدن آن

سطح 3 به اصول حساب وکتور ، حساب دیفرانسیل و انتگرال نیاز دارد. مناسب برای دانشجویان و دانش آموزان دبیرستانی.

1. واگرایی مثبت - منبع یک قسمت بردار در اینجا می آموزید که قسمت بردار در نقطه در نظر گرفته شده یک منبع است.
2. واگرایی منفی - سینک یک میدان بردار در اینجا می آموزید که قسمت بردار در محل در نظر گرفته شده سینک است.
3. واگرایی صفر است-میدان بردار بدون واگرایی در اینجا شما می آموزید که قسمت بردار در محل در نظر گرفته شده بدون واگرایی است.

واگرایی ( nabla cdot boldsymbol ) از یک قسمت بردار ( boldsymbol ) به عنوان محصول مقیاس بین اپراتور نابلا ( nabla ) و قسمت بردار ( boldsymbol ) تعریف شده است:

تعریف: واگرایی از یک قسمت بردار لنگر فرمول $ $ شروع nabla cdot boldsymbol~:=~ شکستن<partial F_< ext x>> <partial x>~+~ شکستن<partial F_< ext y>> <partial y>~+~ شکستن<partial F_< ext z>> <partial z> پایان $ $

در اینجا (f_ ) اولین ، (f_ ) دوم و (f_ ) مؤلفه سوم قسمت بردار سه بعدی زیر ( boldsymbol (x ، y ، z) ) است:

میدان بردار سه بعدی لنگر فرمول $ $ شروع boldsymbol~=~ startf_ (x ، y ، z) \ f_ (x ، y ، z) \ f_ (x ، y ، z) end end $ $

همانطور که در درس در مورد معادلات ماکسول بحث شده است ، قسمت بردار ( boldsymbol ) می تواند ، به عنوان مثال ، میدان الکتریکی ( boldsymbol ) یا میدان مغناطیسی ( boldsymbol ) را نشان دهد.

نتیجه ( nabla cdot boldsymbol ) واگرایی در Eq. 1 یک تابع مقیاس (دیگر مقدار بردار) است! بنابراین ، اگر یک مکان بتونی برای ((x ، y ، z) ) درج شود ، پس عملکرد مقیاس به یک عدد معمول منجر می شود: ( nabla cdot boldsymbol (x ، y ، z) ). این تعداد اندازه گیری برای واگرایی از قسمت بردار در محل در نظر گرفته شده ((x ، y ، z) ) است. این می تواند یک عدد مثبت یا منفی یا حتی صفر باشد. بسته به اینکه تعداد مثبت ، منفی یا صفر باشد ، معنای جسمی متفاوتی دارد.

واگرایی مثبت - منبع یک میدان بردار

ما فرض می کنیم که ما یک مکان بتونی ((x ، y ، z) ) را در قسمت واگرایی ( nabla cdot boldsymbol (x ، y ، z) ) وارد کرده ایم و یک شماره مثبت به دست آورده ایم:

واگرایی مثبت است لنگر فرمول $ $ شروع nabla~ cdot~ x08oldsymbol(x,y,z)>0 پایان $ $

سپس نقطه در نظر گرفته شده ((x ، y ، z) ) در فضا منبع میدان بردار ( boldsymbol ) است. اگر این مکان با یک سطح دلخواه (به عنوان مثال با سطح مکعب) محصور شود ، سپس شار میدان بردار از طریق این سطح نیز مثبت است. میدان بردار از سطح خارج می شود.

این تصویر را دریافت کنید svg png ai همه چیز را در مورد تصویر باز کنید divergenz مثبت at ((x ، y ، z) ) ist die quelle des vektorfeldes. مثال: منبع میدان بردار

واگرایی در نقطه (1 ، 0 ، 0 ) از قسمت بردار زیر چیست:

میدان بردار مثال با اجزای 2x مربع و y و 4 لنگر فرمول $ $ شروع boldsymbol~=~ شروع 2x^2 \ y \ 4 پایان پایان $ $

واگرایی ( nabla cdot boldsymbol ) این قسمت بردار با تشکیل سه مشتقات جزئی از قسمت بردار مانند در معادله محاسبه می شود. 1 و اضافه کردن آنها به هم:

واگرایی میدان بردار با اجزای 2x مربع و y و 4

بنابراین ما میدان واگرایی را در کل فضا تعیین کرده ایم. اما ما می خواهیم واگرایی را در محل ((x ، y ، z) = (1،0،0) ) تعیین کنیم و بنابراین (x = 1 ) ، (y = 0 ) و را تنظیم کنیم. z = 0 ):

واگرایی در مکان 1-0-0

قسمت بردار ( boldsymbol ) دارای واگرایی مثبت ( nabla cdot boldsymbol = 5 ) در مکان در نظر گرفته شده است. از نظر جسمی این مکان منبع میدان بردار ( boldsymbol ) را نشان می دهد. اگر این یک میدان الکتریکی ( boldsymbol = boldsymbol ) باشد ، آنگاه واگرایی مثبت به معنای این است که یک بار الکتریکی مثبت در محل نشسته است ((1،0،0)).

واگرایی منفی - سینک یک میدان بردار

اکنون فرض کنید که ما پس از قرار دادن یک مکان بتونی در قسمت واگرایی ، تعداد منفی به دست آورده ایم:

واگرایی منفی است لنگر فرمول $ $ شروع nabla~ cdot~ boldsymbol (x ، y ، z)~ <~0 پایان $ $

سپس مکان در نظر گرفته شده ((x ، y ، z) ) سینک میدان بردار ( boldsymbol ) است. اگر این مکان با یک سطح دلخواه محصور شود ، سپس شار میدان بردار از طریق این سطح نیز منفی است. میدان بردار به سطح می رود.

این تصویر را دریافت کنید svg png ai همه چیز را در مورد تصویر باز کنید منفی Divergenz am ort ((x ، y ، z) ) ist die senke des vektorfeldes. مثال: سینک یک میدان بردار

با توجه به قسمت بردار زیر:

زمینه بردار با اجزا ی-2x و y و 4 لنگر فرمول $ $ شروع boldsymbol~=~ شرو ع-2x \ y \ 4 پایان پایان $ $

واگرایی ( nabla cdot boldsymbol ) این قسمت بردار:

میدان واگرایی میدان بردار با اجزا ی-2x و y و 4

قسمت بردار در نظر گرفته شده در هر مکان ((x ، y ، z) ) واگرایی منفی ثابت دارد. این بدان معناست که مهم نیست که از کدام مکان برای ((x ، y ، z) ) استفاده می شود ، هر مکان دارای واگرایی منفی با مقدا ر-1 است. هر مکان یک سینک از قسمت بردار ( boldsymbol ) را نشان می دهد. اگر میدان بردار ( boldsymbol ) یک میدان الکتریکی باشد ، این نتیجه به این معنی است که یک بار الکتریکی منفی در هر مکان قرار دارد.

واگرایی میدان بردار بدون واگرایی است

اکنون فرض کنید که ما پس از قرار دادن یک مکان بتونی در قسمت واگرایی صفر به دست آورده ایم:

واگرایی صفر است لنگر فرمول $ $ شروع nabla~ cdot~ boldsymbol (x ، y ، z)~=~0 پایان $ $ این تصویر را دریافت کنید svg png ai همه چیز را در مورد تصویر باز کنید divergenzfreies vektorfeld am ort ((x ، y ، z) ).

سپس در محل ((x ، y ، z) ) قسمت بردار در نظر گرفته شده بدون واگرایی است. این بدان معنی است: اگر این نقطه با هر سطحی محصور شود ، شار میدان بردار از طریق این سطح نیز صفر است. میدان بردار به این سطح اشاره نمی کند ، بلکه به آن اشاره نمی کند. یا به همان اندازه زمینه بردار وجود دارد که به سطح خارج می شوند ، به طوری که این دو کمک مخالف یکدیگر را لغو می کنند و واگرایی خالص صفر است.

مثال: میدان بردار بدون واگرایی

واگرایی را در محل (1 ، 1 ، 1) ) محاسبه کنید:

میدان بردار با اجزا ی-2x و 0. 5y^2 و 0. 5Z^2 لنگر فرمول $ $ شروع boldsymbol~=~ شرو ع-2x \ 0. 5 y^2 \ 0. 5 z^2 پایان پایان $ $

واگرایی ( nabla cdot boldsymbol ) این قسمت بردار:

میدان واگرایی یک میدان بردار با اجزا ی-2x و 0. 5Y^2 و 0. 5Z^2

نقطه ((x ، y ، z) = (1،1،1) ) را وارد کنید:

واگرایی در مکان 1-1-1 صفر است فرمول لنگر $ $ شروع nabla cdot boldsymbol (1،1،1)~&=~-2~+~1~+~1~=~0 پایان $ $

واگرایی میدان بردار در نظر گرفته شده در این مکان صفر است. به عنوان مثال ، معادله دوم ماکسول الکترودینامیک بیان می کند که واگرایی از میدان مغناطیسی ( nabla cdot boldsymbol ) صفر است. از نظر جسمی این بدان معنی است: هیچ تک قطبی مغناطیسی وجود ندارد! قطب شمال مغناطیسی همیشه همراه با قطب جنوب مغناطیسی رخ می دهد.

در نمونه هایی از واگرایی منفی و زمینه های بدون واگرایی ، ما یک واگرایی مداوم را که مستقل از مکان است ، بیرون آوردیم. اما قسمت واگرایی ( nabla cdot boldsymbol ) نباید لزوماً منجر به ثابت شود! آنها فقط نمونه های ساده ای بودند. به طور کلی ، میدان واگرایی به هر سه مختصات بستگی دارد: ( nabla cdot boldsymbol (x ، y ، z) ).

مثال: واگرایی متغیر

با توجه به قسمت بردار زیر:

میدان بردار با اجزای Xy و Y^2 و 5 لنگر فرمول $ $ شروع boldsymbol~=~ شروع x ، y \ x ، y^2 \ 5 پایان پایان $ $

همانطور که در Eq نشان داده شده است. 1 ، مشتقات جزئی میدان بردار را برای تعیین میدان واگرایی محاسبه کنید:

میدان واگرایی y + 2xy

در این حالت بسته به (x ) و (y ) واگرایی می کنیم: ( nabla cdot boldsymbol (x ، y)~=~y + 2x ، y ).

در محل ((1،2،0) ) واگرایی مثبت است: ( nabla cdot boldsymbol (1،2،0)~=~4 ).

در محل ((1 ، -2،0) ) ، با این حال ، واگرایی منفی است: ( nabla cdot boldsymbol (1 ، -2،0)~=~-4 ).

در محل ((-0. 5،2،1) ) واگرایی از بین می رود: ( nabla cdot boldsymbol (-0. 5،2،1)~=~0 ).

حال باید بدانید که چگونه واگرایی از یک میدان بردار محاسبه و از نظر جسمی تفسیر می شود. این دانش به شما کمک می کند تا قضیه انتگرال گاوس را درک کنید ، که برای درک معادلات ماکسول بسیار مهم است.

• کپی رایت: © 2022
• مجوز: CC با 4. 0 این درس ممکن است با نشانگر حق چاپ استفاده شود!
• این محتوا توسط الکساندر فوفف در تاریخ 09/06/2022 - 11:51 اضافه شد.
• این محتوا توسط الكساندر فوفف در تاریخ 09/06/2022 - 12:19 به روز شد.

واحد دوره قبلی درس سطح 3 (با ریاضیات بالاتر)

شیب و نحوه محاسبه مشتق جهت

بیاموزید که شیب یک تابع را با استفاده از اپراتور NABLA محاسبه کنید و مشتق جهت دار را تعیین کنید.

واحد دوره بعدی اثبات ریاضی سطح 3 (با ریاضیات بالاتر)

هویت اول و دوم گرین

اثبات هویت دو سبز (فرمول) با استفاده از قضیه انتگرال گاوس ، که در محاسبه برخی از پتانسیل های الکتریکی مفید هستند.

به جامعه بپیوندید

• استراتژی‌های اسکالپ...
  
  ما را در سایت استراتژی‌های اسکالپ دنبال می کنید

  برچسب : نویسنده : جعفر بدیعی بازدید : <-PostHit-> تاريخ : دوشنبه 2 مرداد 1402 ساعت: 21:07