3. 4: توزیع های هیپرگومتریک ، هندسی و منفی دوتایی

•  
• کریستین کوتر
• کالج سنت مری

توزیع بیش از حد سنجش

مثال زیر را در نظر بگیرید.

مثال ( pageindex )

یک URN حاوی کل توپ (n ) است ، که در آن برخی از تعداد (m ) توپ ها نارنجی هستند و باقیمانده (n-m ) خاکستری هستند. فرض کنید ما توپ های (n ) را از u بدون تعویض ترسیم می کنیم ، به این معنی که یک بار توپ را انتخاب می کنیم ، قبل از بیرون کشیدن آن ، آن را در u قرار نمی دهیم. سپس برخی از توپ های موجود در انتخاب ما ممکن است نارنجی و برخی ممکن است خاکستری باشند. ما می توانیم متغیر تصادفی گسسته (x ) را تعریف کنیم تا تعداد توپ های نارنجی را در انتخاب خود ارائه دهیم. توزیع احتمال (x ) به عنوان توزیع هیپرگومتریک گفته می شود ، که در مرحله بعدی آن را تعریف می کنیم.

تعریف ( pageindex )

فرض کنید در مجموعه ای از اشیاء (n ) ، (m ) از نوع 1 و (n-m ) از نوع دیگری هستند. علاوه بر این ، فرض کنید که اشیاء (n ) به طور تصادفی از مجموعه انتخاب می شوندجایگزینیمتغیر تصادفی گسسته (x ) را تعریف کنید تا تعداد اشیاء منتخب از نوع 1 را ارائه دهید. سپس (x ) دارای توزیع بیش از حد با پارامترهای (n ، m ، n ) است. عملکرد جرم احتمال (x ) توسط start p (x) و = p (x = x) = p (x text n-x text) notag \ & = frac داده شده است.<( ext x ext m) imes ( ext n-x ext N-m)> n ext N> otag \ &= fracx08inom>>>> برچسب پایان

به تعبیری ، توزیع هیپرگومتریک شبیه به دوتایی است ، به جز اینکه روش نمونه برداری از نظر بسیار مهم است. در هر حالت ، ما به تعداد دفعاتی که نتیجه خاصی در تعداد مشخصی از آزمایشات مکرر رخ می دهد ، علاقه مندیم ، جایی که می توانیم هر انتخاب یک شی را در مورد هایپژومتریک به عنوان یک آزمایش در نظر بگیریم. در مورد دوتایی ما به تعداد "موفقیت" در آزمایشات علاقه مند هستیم و در مورد هایپژومتریک ما به تعداد نوع خاصی از شی انتخاب شده علاقه مند هستیم که می تواند "موفقیت" تلقی شود. با این حال ، آزمایشات در توزیع دوتایی مستقل است ، در حالی که آزمایشات در توزیع بیش از حد سنجی به این دلیل نیست که اشیاء بدون جایگزینی انتخاب می شوند. اگر در مثال 3. 4. 1 ، توپ ها با تعویض کشیده شوند ، هر قرعه کشی یک آزمایش مستقل برنولی خواهد بود و توزیع (x ) دوتایی خواهد بود ، زیرا همان تعداد توپ در u یکسان خواهد بودهر بار که یک توپ دیگر کشیده می شود. با این حال ، هنگامی که توپ ها بدون تعویض کشیده می شوند ، هر قرعه کشی مستقل نیست ، زیرا تعداد توپ های موجود در URN پس از هر قرعه کشی و همچنین تعداد توپ های یک نوع خاص کاهش می یابد.

تمرین (PageIndex)

Suppose your friend has 10 cookies, 3 of which are chocolate chip. Your friend randomly divides the cookies equally between herself and you. What is the probability that you get all the chocolate chip cookies? Answer Let random variable (X=) number of chocolate chip cookies you get. Then (X) is hypergeometric with (N=10) total cookies, (m=3) chocolate chip cookes, and (n=5) cookies selected by your friend to give to you. We want the probability that you get all the chocolate chip cookies, i.e., (P(X=3)), which is $$P(X=3) = fracx08inom>>>>= 0. 083

otag$$ توجه داشته باشید که (X) دارای توزیع فوق هندسی است و دو جمله ای نیست زیرا کوکی ها بدون جایگزینی انتخاب می شوند (یا تقسیم می شوند).

توزیع هندسی و توزیع دو جمله ای منفی

تعریف ( pageindex )

تعریف (PageIndex)

تمرین (PageIndex)

1. otag \ &= P(1^ (x-1) ext x^ ext)
2. otag \ &= (1-p)^p, quad ext x = 1, 2, 3, ldots label پایان<sum^<infty>_ p(x) = 1>تمرین (PageIndex)

1. (p(x) geq 0)، برای (x=1، 2، 3، ldots)
2. (displaystyle<infty>) نکته: به دلیلی به آن "هندسی" می گویند!<1). Thus, we have $$sum_^ <infty>توجه داشته باشید که (0leq pleq 1)، به طوری که (0leq (1-p) leq 1) و (0leq (1-p)^ leq 1 را نیز داشته باشیم.، برای (x=1، 2، ldots). بنابراین، نتیجه می شود که (p(x) = (1-p)^p geq 0).<infty>فرمول مجموع یک سری هندسی را به یاد بیاورید: $$sum^

   _ ar^ = frac، quad ext |r|توجه داشته باشید که مجموع pmf هندسی یک سری هندسی با (a=p) و (r = 1-p است.

    

   p(x) = sum^

مثال ( pageindex )

= frac

1. = 1 چک
2. otag$$
3. Roll a pair of fair dice until getting the first double 1's. In this case, a "success" is getting double 1's, and a "failure" is simply not getting double 1's (so anything else). To find the parameter (p), note that the underlying sample space consists of all possible rolls of a pair of fair dice, of which there are (6 imes6 = 36) because each die has 6 possible sides. Each of these rolls is equally likely, so $$p = P( ext) = frac>مثال (PageIndex)

هر یک از موارد زیر نمونه ای از یک متغیر تصادفی با توزیع هندسی است.

تعریف ( pageindex )

بلیط بخت آزمایی بخرید تا اولین برنده شوید. در این مورد، "موفقیت" گرفتن یک بلیط قرعه کشی است که برنده شود و "شکست" برنده نشدن است. پارامتر (p) به شانس برنده شدن برای یک قرعه کشی خاص بستگی دارد._ n=x-1>= frac.

مثال ( pageindex )

توزیع دو جمله ای منفی با در نظر گرفتن هر تعداد موفقیت، توزیع هندسی را تعمیم می دهد.

1. تعریف (PageIndex)
2. فرض کنید که دنباله ای از آزمایشات مستقل برنولی انجام می شود ، با (p = p ( text) ) برای هر آزمایش. یک عدد صحیح (r ) را بیشتر از یا مساوی 2 برطرف کنید و متغیر تصادفی (x ) را تعریف کنید تا تعداد آزمایشی را که در آن موفقیت (r^) رخ می دهد ، ارائه دهید. سپس (x ) توزیع دوتایی منفی با پارامترهای (r ) و (p ) دارد. عملکرد جرم احتمال (x ) توسط شروع p (x) = p (x = x) داده شده است و = p (r^ text x^ text) \ & = underbrace
3. Times P (r^ text x^ text) \ & = binomp^(1-p)^ times p \ & = binomp^r (1-p)^، quad متن x = r ، r+1 ، r+2 ، ldots end

مثال ( pageindex )

برای نمونه هایی از توزیع دوتایی منفی ، می توانیم نمونه های هندسی ذکر شده در مثال 3. 4. 2 را تغییر دهیم.

یک سکه منصفانه را تا 8 سر بگیرید. در این حالت ، پارامتر (p ) هنوز توسط (p = p (h) = 0. 5 ) داده می شود ، اما اکنون ما همچنین پارامتر (r = 8 ) را داریم ، تعداد "موفقیت" های مورد نظر، یعنی سرها.

بلیط های قرعه کشی تا 5 بار برنده شوید. در این حالت ، پارامتر (P ) هنوز هم با شانس برنده شدن در قرعه کشی داده می شود ، اما اکنون ما نیز پارامتر (R = 5 ) ، تعداد برنده های مورد نظر را نیز داریم.

1. یک جفت تاس منصفانه را بچرخانید تا 100 Double 1 را بدست آورید. در این حالت ، پارامتر (p ) هنوز توسط (p = p ( text) = frac ) داده می شود ، اما اکنون ما همچنین پارامتر (r = 100 ) را داریم ، تعداد مورد نظر "موفقیت ها".
2. • به طور کلی ، توجه داشته باشید که توزیع هندسی را می توان در مورد توزیع دوتایی منفی با پارامتر (R = 1 ) تصور کرد.
   • توجه داشته باشید که برای توزیع های دوتایی هندسی و منفی تعداد مقادیر ممکن که متغیر تصادفی می تواند بی نهایت باشد. اینها هنوز توزیع های گسسته هستند ، زیرا می توانیم مقادیر را "لیست" کنیم. به عبارت دیگر ، مقادیر ممکن قابل شمارش است. این برخلاف توزیع های برنولی ، دوتایی و هیپرگومتریک است که در آن تعداد مقادیر ممکن محدود است.

• ما دوباره به تمایز بین توزیع دوتایی و توزیع های هندسی و منفی دوتایی توجه می کنیم. در توزیع دوتایی ، تعداد آزمایشات ثابت است و ما تعداد "موفقیت ها" را می شماریم. در حالی که ، در توزیع های دوتایی هندسی و منفی ، تعداد "موفقیت ها" ثابت است و ما تعداد آزمایشات مورد نیاز برای به دست آوردن تعداد مورد نظر "موفقیت" را می شماریم.
• این صفحه با عنوان 3. 4: توزیع های هیپرژومتریک ، هندسی و منفی دوتایی تحت مجوز اعلام نشده به اشتراک گذاشته می شود و توسط کریستین کوتر نویسنده ، ریمیکس و/یا سرپرستی شده است.
• No