الگوی فراکتالی صعودی

در این بخش ما روش دیگری برای تجسم سیستم های رسمی رسمی را بیان می کنیم ، که در کمال تعجب ما معلوم شد پیوندهای جذاب به الگوهای کلاسیک در هندسه فراکتال ارائه می دهد.

در الگوهای فرش فوق ، ما شمارش فرمولها را برای اشکال ساده محاسبات گزاره ترسیم کردیم ، و مکان های شبکه فرمولها را از نظر مقادیر آنها رنگ آمیزی می کنیم. برای اشکال حساب گزاره ای با نامه های جمله n جمله ، ما خاطرنشان کردیم ، 2 مورد به 2 n از این رنگ ها یا مقادیر افزایش می یابد-در اصل ، یک رنگ برای هر جدول حقیقت ممکن از طول 2 n. در اینجا ما نوع دیگری از نمایشگر را برای چنین سیستمهایی در نظر می گیریم ، که با استفاده از آن مقادیر خود بر روی محورها به جای WFF های شمارش شده ساخته می شوند. این ما را از شمارش های خاص فرمول ها رهایی می دهد زیرا ما را از خود فرمول ها رهایی می دهد. فضای ارزش نه از نظر فرمولهای خاص بلکه از نظر ارزشهای کلاسهای هم ارزی فرمولها ساخته می شود.

دو حرف P و Q را به شکل استاندارد جدول در نظر بگیرید:

pq pq

برای میزهای حقیقت چهار خطه متناسب با دو جمله ، شانزده ترکیب ممکن از t و f ، یا 1 و 0 وجود دارد. این شامل 0 جامد است که مربوط به تضاد یا باطل لازم است. جامد 1 ، مربوط به یک tautology ؛الگوی 1100 ، مربوط به مقدار P ؛و الگوی 1010 ، مربوط به q. شانزده ارزش برای دو حرف را می توان به سادگی به عنوان همه باینری های چهار رقمی تصور کرد.

شکل 19 اینها را می توان به ترتیب صعودی در امتداد دو محور یک صفحه نمایش دو بعدی ترتیب داد. به دنبال رویکرد بالا می توانیم از این مقادیر فکر کنیم که از نظر رنگ نیز متمایز است (شکل 19).

مقادیر ترکیبی برای هر اتصال باینری انتخاب شده اکنون می تواند در فضای ارزش داخلی نقشه برداری شود. اگر نقشه ارزش ما از سکته مغزی شفر باشد ، به عنوان مثال ، مقدار آن در تقاطع 0000 و 0000 ظاهر می شود. مقدار در تقاطع 1111 و 1100 و غیره از نظر رنگ های موجود در محورهای ما نمودار کامل برای سکته مغزی شفر در شکل 20 ظاهر می شود.

واضح است که یک سکته مغزی شفر بین 0000 یا هر مقدار دیگر به یک تائولوژی می رسد. در شکل 21 ، 0000 با استفاده از تیره ترین خاکستری نشان داده شده است ، تاتولوژی ها به رنگ سیاه نشان داده شده اند ، و این واقعیت که فقط ذکر شد توسط مقادیر سیاه نشان داده شده است که در همه موارد در امتداد ستون سمت چپ و در امتداد ردیف بالا نشان داده شده است-همه مواردی که در آن یک ارزش استاز 0000 در هر دو طرف سکته مغزی ظاهر می شود. از طرف دیگر ، یک سکته مغزی شفر بین دو تاتولوژی ، یک تناقض است که توسط مربع خاکستری تیره در تقاطع دو مقدار محور سیاه در گوشه پایین سمت راست نشان داده شده است. به طور کلی ، نمودار فضای ارزش را برای همه ترکیبات سکته مغزی شفر از شانزده مقادیر ما نشان می دهد.

اگر ما با تأکید بر توتولوژی به ویژه با سفید کردن تمام مقادیر دیگر ، یک ویژگی خاص جذاب از فضای ارزش به طور چشمگیری به نظر می رسد (شکل 21). الگوی فراکتال که در اینجا به رنگ مشکی شکل گرفته است ، از واشر Sierpinski است که مدت هاست یک نمایشگاه اصلی در هندسه فراکتال است. 3

اگر فضای ارزش خود را به سه متغیر گسترش دهیم ، با 256 مقدار مربوط به همه باینری های هشت رقمی ، یک نمایش حتی دقیق تر از واشر Sierpinski ظاهر می شود (شکل 22).

در هر تعداد متغیرها ، با توجه به لیست استاندارد از باینری های مربوط به مقادیر جدول حقیقت ، ترکیبات شفر Tautologous یک واشر Sierpinski را تشکیل می دهند. همانطور که در زیر آمده است ، ما در واقع می توانیم به نمودارهایی با افزایش تعداد حروف جمله به عنوان تقریب فزاینده تر به یک سیستم کامل ، با حروف بی نهایت بسیاری از جمله ها و مقادیر بی نهایت زیادی فکر کنیم. برای آن نمودار ، تاتولوژی سیستم یک گرد و غبار بی نهایت ریز sierpinski را تشکیل می دهد.

اتصال اصلی شکل 20 تا 22 NAND یا سکته مغزی شفر است. یک صفحه نمایش مشابه برای NOR ، یا خنجگوشه دستی

سایر اتصالات الگوهای دیگری را در فضای ارزش ایجاد می کنند. به عنوان مثال ، یک استاندارد "و" یا "یا" در شکل 24 نشان داده شده است. در مورد 'یا' 'در سمت راست پایین به عنوان یک الگوی ارزش برای tautology ظاهر می شود. در پیامدهای مادی ، مثلث Sierpinski به عنوان یک الگوی ارزش برای Tautology به سمت چپ پایین تغییر می کند.

شکل 24 در جریان تحقیقات ما ظاهر واشر Sierpinski در فضای ارزش منطق گزاره ای به نظر می رسد. اما ظاهر آن پس از واقعیت به راحتی قابل درک است.

همانطور که در بالا ذکر شد ، ما می توانیم نمایشگرهای فضای ارزش را برای اشکال حساب گزاره با افزایش تعداد حروف جمله به عنوان تقریبی به یک سیستم کامل تر فکر کنیم. تا زمانی که تعداد محدودی از نامه های جمله n را داشته باشیم ، ما فضاهای با ارزش زیادی خواهیم داشت ، که مربوط به همه جداول حقیقت ممکن از طول 2n است. اما حساب کامل گزاره دارای تعداد نامحدودی از نامه های جمله است. از آنجا که حساب گزاره استاندارد محدود به WFF های طول محدود است ، به نظر می رسد ، ما می توانیم با استفاده از چیزی مانند میزهای حقیقت با طول نامحدود ، فضای ارزشی را برای آن بسازیم.

این کمتر از آنچه در ابتدا ظاهر می شود دشوار است. در ساخت میزهای حقیقت محدود برای متغیرهای N ، روش استاندارد این است که با یک نامه جمله ای که به عنوان 0101 ارائه شده است ، شروع شود. به طول 2 n ، نامه جمله بعدی را با 00110011 نشان دهید. به آن طول ، سوم با 00001111. و موارد دیگر. برای سفره های حقیقت نامحدود برای محدود کردن مجتمع های محدود از نامه های جمله ای که حرف اول جمله P ما را می توان به عنوان داشتن یک جدول حقیقت نامتناهی که از 01010101 شروع می شود ، تصور کرد. نامه دوم جمله Q ما را می توان تصور کرد که دارای یک جدول حقیقت نامتناهی است که 00110011 را شروع می کند. ، نامه سوم ما به عنوان داشتن جدول حقیقت نامحدود 000011111 و غیره. به عبارت دیگر ، هر یک از نامه های جمله ما را می توان به عنوان داشتن میزهای حقیقت بی نهایت دوره ای تصور کرد که در غیر این صورت از طرح استاندارد استفاده شده برای ساخت میزهای حقیقت از طول محدود پیروی می کنند. همیشه جایی برای نامه جمله "یک" دیگر وجود خواهد داشت زیرا همیشه می توان یک دوره بزرگتر از 0 و 1 را برای جمله بعدی مورد نیاز معرفی کرد. از این رو ، جمله های جمله ای از یک شکل کامل از حساب گزاره ای را می توان به عنوان زیر مجموعه ای از اعشار باینری دوره ای تصور کرد: آنهایی که سری های متناوب از 0 و 1 طول 2 n برای برخی از n.

نکته مهم در اینجا این است که هر فضای ارزشی برای بسیاری از حروف جمله ای را می توان به عنوان تقریب این سیستم غنی تر ، که برای حساب گزاره ای به عنوان یک کل مناسب است ، تصور کرد. در سیستم غنی تر ، البته ، مربع فضاهای ارزش که در بالا نشان داده شده است به نقاط صرف در فضای ارزش ، دقیقاً همانطور که مقادیر موجود در محورها به نقاط صرف در زنجیره کوچک می شوند. اگرچه این نقاط به هیچ وجه فاصله کامل [1] را خسته نمی کنند-آنها صرفاً زیر مجموعه ای از اعشار دوره ای هستند-آنها را می توان در نظر گرفته شد. استدلال زیر در مورد ظاهر مثلث Sierpinski در مورد یک زنجیره کامل و همچنین زیر مجموعه های پیش بینی شده اعمال می شود و هم برای حساب کامل گزاره و هم برای تقریب های پیش بینی شده به آن معتبر خواهد بود.

از نظر NAND یا شفره سکته مغزی ظاهر مثلث Sierpinski را می توان به شرح زیر بیان کرد. توضیحات مشابه برای سایر اتصالات اعمال می شود.

بگذارید تأکید کنیم که بازنمایی باینری مقادیر در هر محور فضاهای ارزش ما ، چه محدود و چه نامتناهی ، با ستون های یک جدول حقیقت مطابقت دارد. مقدار اختصاص داده شده به هر فضای ارزش یا نقطه V تابعی از مقادیر جدول حقیقت است که از آن در هر محور عمود است. در پرسیدن اینکه آیا یک نکته در فضای ارزش نشان دهنده یک tautology در یک نمودار برای NAND است ، به عنوان مثال ، آنچه واقعاً می خواهیم این است که آیا میزهای حقیقت این دو مقدار محور هر خطی را به اشتراک می گذارند که در آن هر دو "1" را نشان می دهد. اگر چنین خطی وجود داشته باشد ، ترکیب آنها از طریق NAND یک تاتولوژی نیست. مقدار V Value V دارای ارزش یک tautology خواهد بود اگر و فقط اگر مقادیر محور آن در هیچ نقطه ای "1" را در همان خط نشان دهد.

اکنون یک مسیر استاندارد به واشر Sierpinski را در نظر بگیرید، که واشر را از یک مثلث بر حسب قاعده ای برای دو برابر شدن فاصله از نزدیکترین راس ایجاد می کند (که در کتاب مانفرد شرودر "فرکتال ها، آشوب، قوانین قدرت" ذکر شده است). برای هر مثلث معین، مجموعه ای از نقاط وجود دارد که وقتی فاصله از نزدیک ترین راس دو برابر شود، به خارج از مثلث پرتاب می شوند - به طور دقیق تر، که با دو برابر شدن از نزدیک ترین راس به نقاط خارج از مثلث نگاشت می شوند. خود مثلثاین نقاط در واقع یک مثلث معکوس را در مرکز تشکیل می دهند (شکل 25). مجموعه دیگری از نقاط وجود دارد که وقتی فاصله از نزدیکترین راس دو برابر شود، به این ناحیه مرکزی پرتاب می شوند - و بنابراین با دو تکرار رویه "دوبرابر شدن از نزدیکترین راس" از مثلث به بیرون پرتاب می شوند. واشر Sierpinski از تمام نقاطی تشکیل شده است که با وجود تکرار نامحدود چنین رویه ای در مثلث باقی می مانند.

. به نظر می رسد که این مسیر به واشر Sierpinski کاملاً مطابق با ظاهر آن به عنوان نقشه ای از قضایا در فضای مقدار برای NAND است.

نمودار یک مربع واحد را در شکل 26 در نظر بگیرید، و مثلث بالایی که بین A (0،1)، B (0. 0) و C (1،0) مشخص شده است را در نظر بگیرید. این شکل «معکوس» مربع واحد با محورهای ما برای فضاهای مقادیر بالا مطابقت دارد. اگر قانون دوبرابر کردن فاصله از نزدیکترین راس را بر حسب مقادیر x و y برای نقاط خاصی در این مثلث مشخص کنیم، قوانین ما می تواند به صورت زیر ارائه شود:

اگر B نزدیک ترین باشد، (xn، yn) = (2x، 2y) اگر A نزدیک ترین باشد، (xn، yn) = (2x، 1-2(1-y)) اگر C نزدیک ترین باشد، (xn، yn) =(1-2 (1-x)، 2 سال)

اینها واشر Sierpinski را با مسیر استاندارد دو برابر کردن فاصله از نزدیکترین راس به ما می دهند.

در اینجا واضح است که "دو برابر شدن فاصله" در همه موارد مهم است که یک مقدار محور را با 2 ضرب کنید یا 1 را از ضرب 2 تقسیم کنید. بشربرای تکثیر باینری توسط 2 به سادگی شامل حرکت یک نقطه اعشاری یک مکان به سمت راست است. 1-2 (1-X) برابر است با 2x-1 ، که نقطه اعشاری را یک مکان به سمت راست منتقل می کند و هر کس را که از این طریق به سمت چپ نقطه اعشاری مهاجرت می کند ، از بین می برد. نکته مهم این است که برای بیان اعشاری باینری مقادیر محور ، هر دو شکل از تبدیل ترتیب رقمی را که فراتر از نقطه اعشاری باقی مانده است ، حفظ می کنند. کاربرد تکراری از چنین تبدیل ها به جفت مقادیر (x ، y) بنابراین به طور مؤثر هر سری از رقم های باینری را یک بار پایین می آورد و بررسی می کند که آیا 1 در هر دو مکان رخ می دهد. اگر این کار را انجام دهد ، تحول های تکراری ما منجر به دو مقدار شده است که هر دو از 1/2 بیشتر از 1/2 بیان شده اند ، و این نقطه از این رو تحت تکرار در خارج از منطقه مثلث تاریک مهاجرت کرده است.

نقاط مثلث ABC که تحت یک روش تکرار شده برای دو برابر شدن فاصله از نزدیکترین راس-نقاط یک مثلث Sierpinski در آن منطقه فوقانی-مهاجرت نمی کنند-بنابراین آن نقاط (x ، y) هستند که باینرینمایندگی X و Y هر دو در یک مکان اعشاری 1 ندارند. با توجه به بازنمایی ما از ارزش ها از نظر اعشار باینری ، نقاطی که در زیر NAND ایجاد می کنند دقیقاً همان نقاط خواهند بود: نقاط با مقادیر محور با شماره 1 در خطوط جدول حقیقت مربوطه ، یا به طور معادل با شماره 1 در اعشاری مربوط به آنها در اعشاری مربوط به آنهانمایندگی باینری. ظاهر در ابتدا واشر Sierpinski به عنوان نقشه ای از tautologies تحت سکته مغزی شفر می تواند از نظر (i) چه بازنمایی باینری از مقادیر به معنای و (ب) ارائه مربوط به آشنا است که فاصله از فاصله را از فاصله از فاصله از آن درک می کند. نزدیکترین مسیر Vertex به Sierpinski از نظر باینری. طرح کلی برای ظاهر سیرپینسکی در فضای ارزش سایر اتصالات را می توان در همان خطوط ترسیم کرد.

مسیر استاندارد "فاصله دو برابر" به Sierpinski شامل یک مربع واحد کامل است. همانطور که در بالا ذکر شد ، حتی حساب پیشنهادی کامل دارای یک فضای ارزش کوتاه از آن زنجیره کامل است. اگرچه هر حرف جمله و هر همبستگی با یک اعشاری نامتناهی مطابقت دارد ، اما اینها زیر مجموعه ای از حتی اعشار صرفاً دوره ای را تشکیل می دهند. با این حال ، هیچ یک از اینها بر مکانیسم اساسی استدلال فوق تأثیر نمی گذارد ، که صرفاً بر این سؤال که آیا دو اعشار ، محدود یا نامحدود ، یک مقدار خاص را در هر مکانی به اشتراک می گذارند. ضرب توسط 2 از نزدیکترین راس به سادگی آنها را به مکان می اندازد. بنابراین این واقعیت که فضای ارزش ما برای اشکال منطق مورد نظر ، زیر مجموعه های صرف مربع واحد کامل را تشکیل می دهد ، نتیجه ای را به ما می دهد که به عنوان مثال ، Tautologies در مورد NAND ، یک گرد و غبار بی نهایت ریز sierpinski را در آن مربع واحد دانه ای تشکیل می دهد. بشر

یکی از وعده های یک رویکرد گرافیکی به سیستم های رسمی از این نوع این است که ممکن است نتایج هندسه فراکتال وجود داشته باشد که می تواند به عنوان واقعیت هایی در مورد سیستم های منطقی مورد نظر خوانده شود. در اینجا ظاهر واشر Sierpinski به عنوان نقشه قضیه در فضای ارزش ، چند نمونه جزئی اما جالب تر را ارائه می دهد.

به خوبی شناخته شده است که نقاط سازنده واشر Sierpinski در یک مربع واحد مداوم بی نهایت بسیار زیاد هستند ، اما با این وجود "بسیار اندک" به این معنا که یک انتخاب تصادفی از نقاط احتمال نزدیک شدن به صفر ضربه زدن به چنین نقطه ای را دارد. همین امر در حساب کامل گزاره و پسوند بی نهایت آن نیز صادق خواهد بود. مجتمع های بی نهایت بسیاری با ارزش tautology در چنین فضای ارزشی وجود خواهد داشت ، اما احتمال به صفر ضربه زدن به یک tautology از نظر ترکیبی از مقادیر محور تصادفی نزدیک می شود.

نکته مشابهی را می توان از نظر منطقه بیان کرد. در هر تقریب محدود به یک مربع واحد دانه بی نهایت ریز ، واشر Sierpinski یک منطقه مشخص را حفظ می کند. در هر فضای با ارزش محدود به نامه های N جمله ، Tautologies منطقه مشابهی از فضای ارزش را حفظ می کند. در مورد یک مربع واحد بی نهایت دانه ، از طرف دیگر-چه کاملاً مداوم باشد یا نه-واشر سیرپینسکی دارای منطقه ای است که در آن به 0 می رسد. از نظر سکته مغزی شفر ، Tautologies به عنوان نقاط بدون اتصال در فضای ارزش در مدل گرد و غبار کانتور سه بعدی توزیع می شود.

برای منحنی های صاف ، می توان طول تقریبی L (R) را به عنوان محصول شماره N بخش های مستقیم خط R مورد نیاز برای پوشاندن منحنی از یک انتهای به انتهای دیگر داده شد. همانطور که R به صفر می رود ، L (R) به طول منحنی به عنوان یک حد محدود نزدیک می شود. از طرف دیگر ، برای منحنی های فراکتال ، استاندارد است که L (R) به Infinity برود زیرا R به صفر می رود ، زیرا آنچه "پوشانده شده" به طور فزاینده ای از قسمت های منحنی منحنی هستند. اندازه گیری استاندارد D از پیچیدگی منحنی های فراکتال ، معروف به بعد Hausdorff ، این است که Deponent D به گونه ای است که محصول N * R D محدود باقی بماند. ابعاد Hausdorff از واشر Sierpinski شناخته شده است که Log3/Log2 1. 58 است. کار فوق یک مقدار مرتبط را برای tautologies در فضای ارزش سکته مغزی شفر نشان می دهد. برای منحنی های صاف ، می توان یک طول تقریبی L (R) را به عنوان محصول شماره N بخش های مستقیم خط از طول R مورد نیاز برای پوشاندن منحنی از یک انتهای به انتهای دیگر داده کرد. همانطور که R به صفر می رود ، L (R) به طول منحنی به عنوان یک حد محدود نزدیک می شود. از طرف دیگر ، برای منحنی های فراکتال ، استاندارد است که L (R) به Infinity برود زیرا R به صفر می رود ، زیرا آنچه "پوشانده شده" به طور فزاینده ای از قسمت های منحنی منحنی هستند. اندازه گیری استاندارد D از پیچیدگی منحنی های فراکتال ، معروف به بعد Hausdorff ، این است که Deponent D به گونه ای است که محصول N * R D محدود باقی بماند. ابعاد Hausdorff از واشر Sierpinski شناخته شده است که Log3/Log2 1. 58 است. کار فوق یک مقدار مرتبط برای tautologies در فضای ارزش سکته مغزی شفر را نشان می دهد. برای منحنی های صاف ، یک طول تقریبی L (R) می تواند به عنوان محصول شماره N بخش های مستقیم خط از طول r مورد نیاز "داده شود. منحنی را از یک انتهای به طرف دیگر بپوشانید. همانطور که R به صفر می رود ، L (R) به طول منحنی به عنوان یک حد محدود نزدیک می شود. از طرف دیگر ، برای منحنی های فراکتال ، استاندارد است که L (R) به Infinity برود زیرا R به صفر می رود ، زیرا آنچه "پوشانده شده" به طور فزاینده ای از قسمت های منحنی منحنی هستند. اندازه گیری استاندارد D از پیچیدگی منحنی های فراکتال ، معروف به بعد Hausdorff ، این است که Deponent D به گونه ای است که محصول N * R D محدود باقی بماند. ابعاد Hausdorff از واشر Sierpinski شناخته شده است که Log3/Log2 1. 58 است. کار فوق یک مقدار مرتبط را برای tautologies در فضای ارزش سکته مغزی شفر نشان می دهد.